Exam 6. Wektory

Grupa addytywna – pojęcie z dziedziny teorii grup, inaczej:

• grupa w zapisie addytywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku , branie elementu odwrotnego przez , element neutralny zaś oznaczony jest przez ; według konwencji grupy w zapisie addytywnym zwykle są przemienne.
• grupa dodawania w pewnej strukturze (pierścieniu, ciele itp.)  posiadająca działanie addytywne (najczęściej jest to również grupa abelowa), zwykle oznaczana przez .

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego, ang. regular). Odwrotnie, -moduł  jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia  w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej . 

Definicja  

Niech  oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste, czy zespolone), a  i  będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję  nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

• addytywna (zachowuje dodawanie wektorów),

  

• jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar),

   

   

Niech M1i M2 będą modułami nad pierścieniem R. Funkcję f: V1→V2 nazywamy homo-morfizmem(modułów), jeżeli spełnia wszystkie równości

f(ax+by) =af(x) +bf(y)

Dla x, y∈M1 oraz a, b∈R. Homomorfizmy modułów nazywamy też funkcjami lub przekształceniami liniowymi, zwłaszcza jeżeli ograniczamy się do przestrzeni liniowych. Homo-morfizmy (funkcje liniowe) są addytywne: f(x+y) =f(x)+f(y), oraz jednorodne:

f(ax) =af(x), a także spełnią równość f(0) =0. Funkcje liniowe przyjmujące wartości w  szczególnej przestrzeni liniowej jaką jest ciało R nazywamy funkcjonałami. 

Zauważmy też, że homomorfizmy modułów są w szczególności homo-morfizmami grup addytywnych modułów.

Dodawanie wektorów prędkości w teorii względności

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego.Rozumowanie Galileusza wespół z koncepcją absolutnego czasu, płynącego tak samo dla wszystkich obserwatorów, prowadzi do transformacji, która pozwala przeliczyć te same obserwacje dla różnych układów odniesienia. Transformacja Galileusza prowadzi do wniosku, że prędkości postrzegane przez różnych obserwatorów nie muszą być takie same, ale niezmienne pozostają odległości między punktami i odstępy czasu pomiędzy wydarzeniami.

Szczególna teoria względności

Transformacja ta wydaje się bardzo naturalna, lecz jest niezgodna z równaniami Maxwella, co przejawia się w zmianie wartości prędkości światła przy zmianie układu odniesienia. Na przykład jeśli światło według obserwatora O porusza się wzdłuż osi OX w kierunku dodatnim tej osi z prędkością c, to według obserwatora O' ma ono prędkość c - v. Ponieważ doświadczalne poszukiwania takiej zmiany zakończyły się fiaskiem (doświadczenie Michelsona-Morleya), należy przyjąć, że istnieje sprzeczność pomiędzy doświadczeniem z dziedziny elektromagnetyzmu a stosowaniem transformacji Galileusza.

Rozwiązaniem tego problemu była sformułowana przez Alberta Einsteina szczególna teoria względności, która postuluje zmianę praw transformacyjnych dla dużych prędkości układów odniesienia. W teorii tej wykorzystywane są transformacje Lorentza. Poza światem cząstek subatomowych czy prędkości porównywalnych do prędkości światła transformacja Galileusza jest wystarczającym przybliżeniem ogólniejszej teorii – szczególnej teorii względności. W codziennym życiu nie mamy możliwości zaobserwowania jej efektów ponieważ niemożliwe jest obserwowanie osiągnięcia prędkości bliskich prędkości światła dla obiektów makroskopowych (samochód, samolot, przedmioty codziennego użytku).

Tensor

 wielkość tensorowa, obiekt geometryczny – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora. Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione oraz można rozważać pola tensorowe, często nazywane w skrócie tensorami.

 Aby opisać jakąś geometryczną przestrzeń, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest rzeczą sztuczną, w rzeczywistości twór taki nigdzie nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy równaniem tensorowym lub tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Działania 

W każdej przestrzeni tensorowej istnieje wiele typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.

• Każdy skalar jest tensorem
• Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu

6B.

dimz2Z2=1

dimz2(Z2 + Z2)=dimz2Z2  + dimz2Z2=1 + 1=2

dimz2(Z2 x Z2)=dimz2Z2  x dimz2Z2=1 x 1=1