Egzamin nr 6. poprawa

Przestrzeń wektorowa/liniowa. 

Dodawanie i tensorowe mnożenie przestrzeni wektorowych.

6.A. Dystrybutywność w pierścieniu skalarów jest endo-morfizmem grupy addytywnej pierścienia bo, jeśli a, b, c będzie należeć do zbioru R, to i wynik c*(a+b)=(c*a)+(c*b) też bedzie należeć do R.

6.B. dim_Z₂(Z₂⊕ Z₂)= (dim_Z₂Z₂)+( dim_Z₂Z₂)= 1+1=2;

       dim_Z₂(Z₂ ⊗ Z₂) =(dim_Z₂Z₂)*(dim_Z₂Z₂)= 1*1=1;

       

6.C. 1. Morfizmy pierścieni nie można dodawać, bo suma morfizmów nie jest morfizmem.            Np: x,y należą do RING(F, IR), ale x+y nie należą do RING(F,IR);

       2. Morfizmy przestrzeni/modułów można dodawać, bo ich suma też jest morfizmem.            Np: V,W-przestrzenie;

                 hom(v,w) jest grupą, 

                 f1, f2 należą do hom(v,w), ale i f1+f2 także należy do hom(v,w), więc można              je dodawać.

6.D. Dodawanie wektorów prędkości w teorii względności.

       

   Albert Einstein w 1905 roku ogłosił teorię względności, gdzie stwierdził o niezmienności prędkości światła, gdyż prędkość światłą w próżni jest taka sama dla wszystkich obserwatorów, taka sama we wszystkich kierunkach i nie zależy od prędkości źródła światła. 

  W teraźniejszości jest przyjęte, że dodawanie wektorów jest łaczne, co i zazwyczaj jest zgodne, jednak jeżeli przyjąć, że c(prędkość światła) to (w+u)+c=w+(u+c) nie ma sensu, gdyż w i u nie mogą być większe niż 0. 

  Więc, z tego wynika, że wektory prędkości w teorii wzglęności tworzą dodawanie, które nie jest łączne, a jest quasi-grupą. 

  Moim zdaniem należy zmodyfikować teorię wzglęności uwzględniając, że nie zawsze dodawanie wektorów jest łączne.

6.E. Tensory
   
  Z początku podam definicję tensoru w wikipedii. A więc, wikipedia podaje określenie tensoru, że to jest uogólnienie pojęcia wektora, wielkość(tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych. 
  Tensorem rzędu 0 jest każdy skalar. Algebra tensorowa składa się z węwnetrznego dodawania i mnożenia kategorii R-przestrzeni i także innych zewnętrznych działań.
Możno także tak okreśłić tensor:  dim(V ⊕ W) = (dim V ) + (dim W) ∈ N i dim(V ⊗ W) = (dim V ) · (dim W) ∈ N. 

Homework nr.12 Wyznacznik = Determinant

Wyznacznik 

12.A. Metoda Grassmanna

    -1  2  1   

M= 1  x  -2

     0  2  3

-1  2   1    e1
 1  x  -2    e2  = (-e1+2e2+e3)^(e1+xe2-2e3)^(2e2+3e3)=(-e1^e1^2e2)+(-e1^e1^3e3)+
 0  2   3    e3

(-e1^xe2^2e2)+(-e1^xe2^3e3)+(-e1^-2e3^2e2)+(-e1^-2e3^3e3)+(2e2^e1^2e2)+(2e2^e1^3e3)+(2e2^xe2^2e2)+(2e2^xe2^3e3)+(2e2^-2e3^2e2)+(2e2^-2e3^3e3)+(e3^e1^2e2)+(e3^e1^3e3)+(e3^xe2^2e2)+(e3^xe2^3e3)+(e3^-2e3^2e2)+(e3^-2e3^3e3) = 0+0+0+(-e1^xe2^3e3)+(-e1^-2e3^2e2)+0+0+(2e2^e1^3e3)+0+0+0+0+(e3^e1^2e2)+0+0+0+0+0 = -3x(e1^e2^e3)+4(e1^e3^e2)+6(e2^e1^e3)+2(e3^e1^e2) = -3x(e1^e2^e3)-4(e1^e2^e3)-6(e1^e2^e3)+2(e1^e2^e3) = (-3x-4-6+2)(e1^e2^e3)= (-3x-8)(e1^e2^e3)
wyznacznik : -3x-8

     2  3  -1
K= 1   1   1
     3   2   2

2  3  -1  e1
1  1   1  e2  =  (2e1+3e2-e3)^(e1+e2+e3)^(3e1+2e2+2e3)=0+0+0+0+0+(2e1^e2^2e3)+0+
3  2   2  e3

(2e1^e3^2e2)+0+0+0+(3e2^e1^2e3)+0+0+0+(3e2^e3^3e1)+0+0+0+(-e3^e1^2e2)+0+(-e3^e2^3e1)+0+0+0+0+0 = 4(e1^e2^e3)+4(e1^e3^e2)+6(e2^e1^e3)+9(e2^e3^e1)-2(e3^e1^e2)-3(e3^e2^e1) = 4(e1^e2^e3)-4(e1^e2^e3)-6(e1^e2^e3)+9(e1^e2^e3)-2(e1^e2^e3)+3(e1^e2^e3) = (4-4-6+9-2+3)(e1^e2^e3) = 4(e1^e2^e3)
wyznacznik: 4

12.B. Metoda Sarrus'a

            M   -1  2   1

                  1  x  -2   =  (-1*x*3+2* (-2)*0+ 1*1*2)-(0*x*1+2*(-2)*(-1)+3*1*2)= -3x+2-4-6= -3x-8

                  0  2   3

           K  2  3  -1

               1  1   1   = (2*1*2+3*1*3+(-1)*1*2)-(3*1*(-1)+2*1*2+2*1*3)=4+9-2-(-3+4+6)=4

               3  2   2

12.C. Minior tych dwoch macierzy

 M -1  2  1

                1  x  -2

                0  2  3

               M11=3x+4;  M12=3-0=3;  M13=2-0=2;  M21=6-2=4;  M22=-3-0= -3;  M23=-2-0= -2

               M31=-4-x;  M32=2-1=1;  M33=-x-2;

           K  2  3  -1

                1  1   1

                3  2   2

                 M11=2-2=0;  M12=2-3= -1;  M13=2-3= -1;  M21=6+2=8;  M22=4+3=7;  M23=4-9= -5;
                 M31=3+1=4;  M32=2+1=3;  M33=2-3= -1;

12.D. Metoda Laplace'a

 M  -1  2   1

                 1  x  -2 =  0*(-1)^(3+1)*  2  1  +2*(-1)^(3+2)* -1  1  +3*(-1)^(3+3)* -1  2 =0-2+3(-x-2)=

                 0  2   3                               x -2                            1  -2                             1  x

                 -2-3x-6=-3x-8

        K 2  3  -1

            1  1   1  =1*(-1)^(2+1)* 3  -1 +1*(-1)^(2+2)* 2  -1 +1*(-1)^(2+3)* 2  3= -8+7+5= 4

            3  2   2                            2   2                            3   2                           3  2

Egzamin nr. 11 Algebra Grassmanna

Algebra  Grassmanna (1809-1877)

11.A

One of the many examinations for which Grassmann sat required that he submit an essay on the theory of the tides. In 1840, he did so, taking the basic theory from Laplace'sMécanique céleste and from Lagrange's Mécanique analytique, but expositing this theory making use of the vector methods he had been mulling over since 1832. This essay, first published in the Collected Works of 1894–1911, contains the first known appearance of what are now called linear algebra and the notion of a vector space. He went on to develop those methods in his A1 and A2 .

In 1844, Grassmann published his masterpiece, his Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik [The Theory of Linear Extension, a New Branch of Mathematics], hereinafter denoted A1 and commonly referred to as the Ausdehnungslehre, which translates as "theory of extension" or "theory of extensive magnitudes." SinceA1 proposed a new foundation for all of mathematics, the work began with quite general definitions of a philosophical nature. Grassmann then showed that once geometry is put into the algebraic form he advocated, the number three has no privileged role as the number of spatial dimensions; the number of possible dimensions is in fact unbounded.

11. B.

Mnożnie Grassmanna zwiększa stopień wektorów w wielowektorze, inaczej mówiąc zwiększ stopień gradacji.

     Twierdzenie Grassmanna: dołączenie tego samego wektora/formy w rezultacie daje zerowy wielowektor: v^v=0(zerowa powierzchnia), więc jeden wektor nie może opisać powierzchnię, więc trzeba wprowadzić v^u = -u^v.

11. C

Tablica Grassmanna jest analogią Układu periodycznego chemicznych pierwiastkó. Więc, moim zdaniem tablica Grassmanna jest tak samo znacząca w matematyce jak i tablica Mendeleeva. Euclides o wiele węziej i mniej miał podzielonych w matematyce rodzajów, a Grassmann tablica zawiera także pod-rodzaje, jest o wiele szersza i dokładniejsza. 

11 D. Obliczyć kwadrat wielkości skalarnych bi-wektora i ʌ j

g₂≡i⊗j+j⊗i

ii=1, ij=0, ji=0, jj=1

Powieszchnia bi-wektora jest równa: {g(i ʌ j)}(i ʌ j)
natomiast g(i ʌ j)=(gi) ʌ (gj)

    gi=i(i)j + j(i)i = j

    gj=i(j)j + j(j)i = i

    g(i ʌ j)= j ʌ i

{g(i ʌ j)}(i ʌ j)=(j ʌ i)(i ʌ j)=(ii)(jj)-(ij)(ji)=1

homework nr. 10 Izo-morfizm przestrzeni wektorowej

Izo-morfizm przestrzeni wektorowej.

10.A. Macierze są wzajemnie odwrotne, gdy wzajemnie przemnożone dają macierz jednostkową.

          2  -1  -4               2    19  -30

   A  =  3   8   2        B = -1  -10   16

          2   5   1                1    12  -19

             4+1-4     38+10-48     -60-16+76        1   0   0

   A*B=   6-8+2     57-80+24     -90+128-38  =  0   1   0 

             4-5+1     38-50+12     -60+80-19        0   0   1

             4+57-60     -2+152-150   -8+38-30      1   0   0

    A*B=  -2-30+32    1-80+80        4-20+16   =  0   1   0

             2+36-38     -1+96-95      -4+24-19       0   0   1

Więc, macierze są wzajemnie odwrotne.

10.B.

A =	0	-2
	-3	0

Wyznacznik danej macierzy:

detA = 0-6 = -6

detA ≠ 0, zatem macierz A jest macierzą nieosobliwą i dla niej istnieje macierz odwrotna.

Dopełnienie algebraiczne A_ij elementu a_ij macierzy A:

a₁₁ = (-1)¹⁺¹·0 = 0

a₁₂ = (-1)¹⁺²·(-3) = 3

a₂₁ = (-1)²⁺¹·(-2) = -2

a₂₂ = (-1)²⁺²·0 = 0

Dalej obliczę macierz odwrotną do macierzy A korzystając z następującego wzoru:

A^-1 = (1/detA)·[A_ij]^T

A-1=-1/6 ·	0	2	=	0	-1/3
	3	0		-1/2	0

Teraz sprawdzę, czy otrzymana macierz jest macierzą odwrotną do macierzy A:   

A-1 ·A=	0	-1/3	·	0	-2	=	1	0
	-1/2	0		-3	0		0	1

A·A -1=	0	-2	·	0	-1/3	=	1	0
	-3	0		-1/2	0		0	1

10.C. 

A=	3	-1
	-1	1

det A=3-1=2

a₁₁=(-1)¹⁺¹·1=1

a₁₂=(-1)¹⁺²·(-1)=1

a₂₁=(-1)²⁺¹·(-1)=1

a₂₂=(-1)²⁺²·3=3

A-1=1/2 ·	1	1	=	1/2	1/2
	1	3		1/2	3/2

A·A -1=	3	-1	·	1/2	1/2	=	1	0
	-1	1		1/2	3/2		0	1

A-1 ·A=	1/2	1/2	·	3	-1	=	1	0
	1/2	3/2		-1	1		0	1

10.D. 

A=	2	3	-1
	1	1	1
	3	2	2
	2	3	-1
	1	1	1

detA = 2·1·2+1·2·(-1)+3·3·1-(-1)·1·3-1·2·2-2·3·1 = 4-2+9+3-4-6 = 4

a₁₁=1(2-2)=0
a₁₂=-1(2-3)=1
a₁₃=1(2-3)=-1
a₂₁=-1(6+2)=-8
a₂₂=1(4+3)=7
a₂₃=-1(4-9)=5
a₃₁=1(3+1)=4
a₃₂=-1(2+1)=-3
a₃₃=1(2-3)=-1

A-1=1/4 ·	0	-8	4	=	0	-2	1
	1	7	-3		1/4	7/4	-3/4
	-1	5	-1		-1/4	5/4	-1/4

A·A -1=	2	3	-1	·	0	-2	1	=	1	0	0
	1	1	1		1/4	7/4	-3/4		0	1	0
	3	2	2		-1/4	5/4	-1/4		0	0	1

A-1·A=	0	-2	1	·	2	3	-1	=	1	0	0
	1/4	7/4	-3/4		1	1	1		0	1	0
	-1/4	5/4	-1/4		3	2	2		0	0	1

10.E.  Posiada odwrotność, gdy wyznacznik jest różny od zera i jest kwadratową macierzą.

M≡v⊗α

    v=[v₁,v₂,...,v_n]

α=	α1
	α2
	⁞
	αn

M≡[ v₁ α₁+ v₂ α₂+...+ v_n α_n]=[m]

Czyli otrzymamy macierz o wymiarach 1x1

Dany endomorfizm będzie posiadał endomorfizm odwrotny tylko wtedy, kiedy detM≠0 ( detM=m, zatem m≠0).

10.F. 

M=	-1	2	1
	1	x	-2
	0	2	3

       Macierz M nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli jej wyznacznik detM≠0. Jeżeli macierz M jest macierzą nieosobliwą stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz M^-1, która jest do niej odwrotna ( M· M^-1= M^-1·M=I_n). Zatem aby ustalić dla jakich wartości skalara „x” dana macierz posiada macierz odwrotną, policzę jej wyznacznik.

M=	-1	2	1
	1	x	-2
	0	2	3
	-1	2	1
	1	x	-2

detM=-3x+2+0-x-4-6=-4x-8

-4x-8=0

X=-2

Dla x=-2 detM=0, zatem macierz M dla danego x jest macierzą osobliwą.

Dla x≠-2 detM≠0, co oznacza, że w tym przypadku macierz M jest macierzą nieosobliwą orazposiada macierz odwrotną.