Praca domowa nr 3: Udowodnić, że mZ jest ideałem Z.

Udowodnić, że mZ jest ideałem Z

       Na początku chce powiedzieć kilka słów o tym zbiorze Z: 

Z - to zbiór liczb całkowitych

Z = { 0, -1,  1, -2,  2, -3,  3 , -4, 4, ...} 

W prace domowej nr 2 pokazałam, że zbiór Z jest pierścieniem w którym:

• działanie (Z,+) - to grupa abelowa
• działanie (Z,· ) - to monoid

1. Udowodnimy, że mZ jest podpierścieniem Z

       Zacznę od tego, że udowodnię, że zbiór mZ jest pierścieniem.

mZ = { 0·m, -1·m,  1·m, -2·m,  2·m, -3·m,  3·m , -4·m, 4·m, ...}

mZ = { 0, -m,  m, -2m,  2m, -3m,  3m , -4m, 4m, ...}

Sprawdzamy czy (mZ,+) i (mZ,·) są półgrupami (semigroup).  

   Dla (+): (am+bm)+cm=am+(bm+cm)=m(a+b+c) dla każdego am,bm,cm ϵ mZ; a,b,c ϵ Z   

                 (am+bm)=m(a+b) ϵ mZ  dla każdego am,bm ϵ mZ; a,b, ϵ Z

   Dla (·): am·(bm·cm)=(am·bm)·cm=abcmᶾ dla każdego am,bm,cm ϵ mZ; a,b,c ϵ Z

               (am·bm) ϵ mZ dla każdego am,bm ϵ mZ; a,b, ϵ Z

Warunki łączności i wewnętrzności są spełnione dla obu operacji: i dla (+) i dla (·). Czyli jak (mZ,+), tak i (mZ,·) są półgrupami. 

Sprawdzamy czy półgrupy (mZ,+) i (mZ,·) są monoidami.

   Dla (+): e = 0

   Dla (·):  e nie istnieje (tylko dla m=1 e=1, ale wtedy mZ i Z będą jednakowe)

Element neutralny istnieje tylko dla (mZ,+), z czego wynika iż półgrupa (mZ,+) jest monoidem.

Sprawdzamy czy monoid (mZ,+) jest grupą.

   Dla (+): b = -am, gdyż dla każdego am ϵ mZ  zachodzi równość: am+b=b+am=e, a ϵ Z

Element odwrotny istnieje dla operacji (mZ,+), z czego wynika iż monoid (mZ,+) jest grupą.

 
Sprawdzamy czy grupa (mZ,+) jest grupą abelową.

   Dla (+): am+bm=bm+am  dla każdego am, bm ϵ mZ, gdzie a,b ϵ Z

Działanie jest przemienne (mZ,+), zatem (mZ,+) jest grupą abelową.

Sprawdzamy czy zbiór mZ jest pierścieniem:

Mamy dwa działania: (+) i (·); (mZ,+) jest grupą abelową; (mZ,·) jest łączne;

mnożenie obustronnie rozdzielne względem dodawania:

   am·(bm+cm)=(am·bm)+(am·cm)  dla każdego am,bm,cm ϵ mZ, gdzie a,b,c ϵ Z 

   (bm+cm)·am=(bm·am)+(cm·am)  dla każdegoam,bm,cm ϵ mZ, gdzie a,b,c ϵ Z 

Czyli zbiór mZ jest pierścieniem, w którym:

   Działanie (mZ,+) jest grupą abelową
   Działanie (mZ,·) jest semigroup

mZ jest podpierścieniem Z ponieważ dla dowolnych am, bm ϵ mZ zachodzi:

   am+bm=m(a+b) ϵ mZ

   am·bm=m(mab) ϵ mZ

oraz (mZ,+) jest podgrupą grupy (Z,+), gdyż zawiera element neutralny dodawania e = 0, oraz dla każdego am ϵ mZ istnieje element odwrotny -am ϵ mZ

2. Udowodnimy, że mZ jest ideałem Z

W tym punkcie będę korzystała z następującej definicji: Ideałem pierścienia R nazywa się każdy podzbiór I pierścienia R o tej własności, że:

• I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R;
• jeśli y ϵ R oraz a ϵ I, to ya ϵ I;
• jeśli y ϵ R oraz a ϵ I, to ay ϵ I.

Na wykładzie była nam podana podobna definicja, tylko w innej formie.


mZ jest ideałem Z, gdyż spełnia następujące warunki:

• (mZ,+) jest podgrupą grupy (Z,+)
• jeśli a ϵ Z oraz nm ϵ mZ to a·nm ϵ mZ
• jeśli a ϵ Z oraz nm ϵ mZ to nm·a ϵ mZ

Innymi słowy jeżeli weźmiemy dowolny element a ze zbioru Z i pomnożymy go przez dowolny elementem nm zbioru mZ, to otrzymamy jakiś element an·m, który będzie należał do zbioru mZ. Ponieważ mZ jest podpierścieniem Z, to biorąc pod uwagę poprzednie zdanie, możemy śmiało powiedzieć, że mZ jest ideałem Z.