Egzamin nr. 11 Algebra Grassmanna

Algebra  Grassmanna (1809-1877)

11.A

One of the many examinations for which Grassmann sat required that he submit an essay on the theory of the tides. In 1840, he did so, taking the basic theory from Laplace'sMécanique céleste and from Lagrange's Mécanique analytique, but expositing this theory making use of the vector methods he had been mulling over since 1832. This essay, first published in the Collected Works of 1894–1911, contains the first known appearance of what are now called linear algebra and the notion of a vector space. He went on to develop those methods in his A1 and A2 .

In 1844, Grassmann published his masterpiece, his Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik [The Theory of Linear Extension, a New Branch of Mathematics], hereinafter denoted A1 and commonly referred to as the Ausdehnungslehre, which translates as "theory of extension" or "theory of extensive magnitudes." SinceA1 proposed a new foundation for all of mathematics, the work began with quite general definitions of a philosophical nature. Grassmann then showed that once geometry is put into the algebraic form he advocated, the number three has no privileged role as the number of spatial dimensions; the number of possible dimensions is in fact unbounded.

11. B.

Mnożnie Grassmanna zwiększa stopień wektorów w wielowektorze, inaczej mówiąc zwiększ stopień gradacji.

     Twierdzenie Grassmanna: dołączenie tego samego wektora/formy w rezultacie daje zerowy wielowektor: v^v=0(zerowa powierzchnia), więc jeden wektor nie może opisać powierzchnię, więc trzeba wprowadzić v^u = -u^v.

11. C

Tablica Grassmanna jest analogią Układu periodycznego chemicznych pierwiastkó. Więc, moim zdaniem tablica Grassmanna jest tak samo znacząca w matematyce jak i tablica Mendeleeva. Euclides o wiele węziej i mniej miał podzielonych w matematyce rodzajów, a Grassmann tablica zawiera także pod-rodzaje, jest o wiele szersza i dokładniejsza. 

11 D. Obliczyć kwadrat wielkości skalarnych bi-wektora i ʌ j

g₂≡i⊗j+j⊗i

ii=1, ij=0, ji=0, jj=1

Powieszchnia bi-wektora jest równa: {g(i ʌ j)}(i ʌ j)
natomiast g(i ʌ j)=(gi) ʌ (gj)

    gi=i(i)j + j(i)i = j

    gj=i(j)j + j(j)i = i

    g(i ʌ j)= j ʌ i

{g(i ʌ j)}(i ʌ j)=(j ʌ i)(i ʌ j)=(ii)(jj)-(ij)(ji)=1