Izo-morfizm przestrzeni wektorowej.
10.A. Macierze są wzajemnie odwrotne, gdy wzajemnie przemnożone dają macierz jednostkową.
2 -1 -4 2 19 -30
A = 3 8 2 B = -1 -10 16
2 5 1 1 12 -19
4+1-4 38+10-48 -60-16+76 1 0 0
A*B= 6-8+2 57-80+24 -90+128-38 = 0 1 0
4-5+1 38-50+12 -60+80-19 0 0 1
4+57-60 -2+152-150 -8+38-30 1 0 0
A*B= -2-30+32 1-80+80 4-20+16 = 0 1 0
2+36-38 -1+96-95 -4+24-19 0 0 1
Więc, macierze są wzajemnie odwrotne.
10.B.
A =
|
0
|
-2
|
-3
|
0
|
Wyznacznik danej macierzy:
detA = 0-6 = -6
detA ≠ 0, zatem macierz A jest macierzą nieosobliwą i dla niej istnieje macierz odwrotna.
Dopełnienie algebraiczne Aij elementu aij macierzy A:
a11 = (-1)1+1·0 = 0
a12 = (-1)1+2·(-3) = 3
a21 = (-1)2+1·(-2) = -2
a22 = (-1)2+2·0 = 0
Dalej obliczę macierz odwrotną do macierzy A korzystając z następującego wzoru:
A-1 = (1/detA)·[Aij]T
A-1=-1/6 ·
|
0
|
2
|
=
|
0
|
-1/3
|
3
|
0
|
-1/2
|
0
|
Teraz sprawdzę, czy otrzymana macierz jest macierzą odwrotną do macierzy A:
A-1 ·A=
|
0
|
-1/3
|
·
|
0
|
-2
|
=
|
1
|
0
|
-1/2
|
0
|
-3
|
0
|
0
|
1
|
A·A -1=
|
0
|
-2
|
·
|
0
|
-1/3
|
=
|
1
|
0
|
-3
|
0
|
-1/2
|
0
|
0
|
1
|
10.C.
A=
|
3
|
-1
|
-1
|
1
|
det A=3-1=2
a11=(-1)1+1·1=1
a12=(-1)1+2·(-1)=1
a21=(-1)2+1·(-1)=1
a22=(-1)2+2·3=3
A-1=1/2 ·
|
1
|
1
|
=
|
1/2
|
1/2
|
1
|
3
|
1/2
|
3/2
|
A·A -1=
|
3
|
-1
|
·
|
1/2
|
1/2
|
=
|
1
|
0
|
-1
|
1
|
1/2
|
3/2
|
0
|
1
|
A-1 ·A=
|
1/2
|
1/2
|
·
|
3
|
-1
|
=
|
1
|
0
|
1/2
|
3/2
|
-1
|
1
|
0
|
1
|
10.D.
A=
|
2
|
3
|
-1
|
1
|
1
|
1
| |
3
|
2
|
2
| |
2
|
3
|
-1
| |
1
|
1
|
1
|
detA = 2·1·2+1·2·(-1)+3·3·1-(-1)·1·3-1·2·2-2·3·1 = 4-2+9+3-4-6 = 4
a11=1(2-2)=0
a12=-1(2-3)=1
a13=1(2-3)=-1
a21=-1(6+2)=-8
a22=1(4+3)=7
a23=-1(4-9)=5
a31=1(3+1)=4
a32=-1(2+1)=-3
a33=1(2-3)=-1
a12=-1(2-3)=1
a13=1(2-3)=-1
a21=-1(6+2)=-8
a22=1(4+3)=7
a23=-1(4-9)=5
a31=1(3+1)=4
a32=-1(2+1)=-3
a33=1(2-3)=-1
A-1=1/4 ·
|
0
|
-8
|
4
|
=
|
0
|
-2
|
1
|
1
|
7
|
-3
|
1/4
|
7/4
|
-3/4
| ||
-1
|
5
|
-1
|
-1/4
|
5/4
|
-1/4
|
A·A -1=
|
2
|
3
|
-1
|
·
|
0
|
-2
|
1
|
=
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1/4
|
7/4
|
-3/4
|
0
|
1
|
0
| |||
3
|
2
|
2
|
-1/4
|
5/4
|
-1/4
|
0
|
0
|
1
|
A-1·A=
|
0
|
-2
|
1
|
·
|
2
|
3
|
-1
|
=
|
1
|
0
|
0
|
1/4
|
7/4
|
-3/4
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
| |||
-1/4
|
5/4
|
-1/4
|
3
|
2
|
2
|
0
|
0
|
1
|
10.E. Posiada odwrotność, gdy wyznacznik jest różny od zera i jest kwadratową macierzą.
M≡v⊗α
v=[v1,v2,...,vn]
α=
|
α1
|
α2
| |
⁞
| |
αn
|
M≡[ v1 α1+ v2 α2+...+ vn αn]=[m]
Czyli otrzymamy macierz o wymiarach 1x1
Dany endomorfizm będzie posiadał endomorfizm odwrotny tylko wtedy, kiedy detM≠0 ( detM=m, zatem m≠0).
10.F.
M=
|
-1
|
2
|
1
|
1
|
x
|
-2
| |
0
|
2
|
3
|
Macierz M nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli jej wyznacznik detM≠0. Jeżeli macierz M jest macierzą nieosobliwą stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz M-1, która jest do niej odwrotna ( M· M-1= M-1·M=In). Zatem aby ustalić dla jakich wartości skalara „x” dana macierz posiada macierz odwrotną, policzę jej wyznacznik.
M=
|
-1
|
2
|
1
|
1
|
x
|
-2
| |
0
|
2
|
3
| |
-1
|
2
|
1
| |
1
|
x
|
-2
|
detM=-3x+2+0-x-4-6=-4x-8
-4x-8=0
X=-2
Dla x=-2 detM=0, zatem macierz M dla danego x jest macierzą osobliwą.
Dla x≠-2 detM≠0, co oznacza, że w tym przypadku macierz M jest macierzą nieosobliwą orazposiada macierz odwrotną.
Komentarų nėra:
Rašyti komentarą