homework nr.4

Exam. (Homo)-Morfizmy grup i pierscieni

Homomorfizmy struktur algebraicznych (homomorfizmy typow danych) wpro-

wadzi l Samuel Eilenberg w roku 1945. Eileberg ukonczyl studia w Uniwer-

sytecie Warszawskim w 1939 roku. W USA wolal aby jego studenci mowili z

nim po polsku. Teorie morfizm ́ow nazwal teori ̧a kategorii. Obecnie homomor-

fizm sie skraca do morfizmu. W teorii kategorii morfizm jest najwazniejszym,

pierwotnym, pojeciem.

                                       Figure 1: Morfizmu miedzy operacjami binarnymi.

 

(Homo)morfizm - jest to funkcja, która odwzorowuje jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drygą, zachowując przy tym odpowiadające sobie operacje.

Homomorfizm grup – w teorii grup funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr^.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupę należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Pierścień

Zespół (A,+,*) składający się z niepustego zbioru A oraz dwóch operacji binarnych + i * określonych w A nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

• (P1) (A,+) jest grupą abelową;
• (P2) (ab)c=a(bc);
• (P3)  a(b+c)=(ab)+(ac), (a+b)c=(ac)+(bc).

Endomorfizm – w teorii kategorii morfizm danej struktury matematycznej w siebie. Zbiór EndA wszystkich endomorfizmów struktury A wraz z działaniem składania przekształceń jest monoidem (tzn. półgrupą z jedynką). W strukturach algebraicznych endomorfizmy są homomorfizmami (danej struktury w siebie).Tutaj przedrostek endo- oznacza, moim zdaniem, wewnętrzny, część czegoś.

Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm f:X→Y mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów g1,g2:Y→Z spełniony jest warunek. Tutaj rozumiem przedrostek epi- jak prawy.

g1∘f=g2∘f⇒g1=g2.

.

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm f:X→Y mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów g1,g2:Z→X zachodzi

f∘g1=f∘g2⇒g1=g2.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f takie, że f i jego odwrotność f−1 są homomorfizmami.

 Homomorfizmem G w G' jest ϕ: G→G' takie, że ϕ(x·y)=ϕ(x)·ϕ(y).
Według Dedekinda f(x) = x(f) ϵ R oraz g(x) = x(g) ϵ R
tedy wg Dedekinda wychodzi: x(f+g)=x(f)+x(g) oraz x(f·g)=x(f)·x(g), z czego wynika, że "x" jest morfizmem.

E. Morfizm  PIERSCIEN WIELIEMIONOW (URL)
C. 
Logarytm:
Zatem oddziaływanie logarytmu na element neutralny i element odwrotny będzie wyglądało odwrotnie do oddziaływania exponecjału na element neutralny i element odwrotny.

log(r·s)=(logr)+(logs)
Element neutralny mnożenia jest równy 1. Dowolna dodatnia liczba rzeczywista a pomnożona przez 1 daje tą liczbę a, czyli a·1=a. Dalej następuje logarytmowanie (morfizm) i logarytm jedynki o dowolnej podstawie daje 0, a 0 jest elementem neutralnym dodawania.

Elementem odwrotnym dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a jest a^-1. Po logarytmowaniu mamy: loga^-1=-1loga=-loga, czyli mamy element odwrotny dodawania. Lub mamy jakieś wejście a, po logarytmowaniu mamy loga , teraz odwracamy i nam wychodzi -loga. Zatem mamy równość:

 loga^-1=-loga
Exponential jest odwrotny do logarytmu

Exponential:
exp(x+y)=(expx)·(expy)
Jeżeli do dowolnej liczby rzeczywistej r dodać 0, to otrzymamy tą liczbę rzeczywistą, czyli r+0=r. Dalej następuje exponencjonowanie (morfizm) i dowolna dodatnia liczba rzeczywista do potęgi 0 daje 1, a 1 to element neutralny mnożenia.

Elementem odwrotnym dodawania dla każdej liczby rzeczywistej r jest
-r. Po exponencjonowaniu mamy: a^-r , gdzie a to dowolna dodatnia liczba rzeczywista, czyli mamy element odwrotny mnożenia. Lub jeżeli mamy jakieś wejście r , to po exp nam wyjdzie a^r potem odwracamy i nam wychodzi:  (a^r) -1. Zatem mamy równość: a^-r=(a^r) -1

F. (Homo)morfizm

Homework nr.3 Ideal

              Theorem of ideals   

  J. F. Rittf introduced the idea of irreducible system of algebraic differential
equations and showed that every system of such equations is equivalent
to a finite set of irreducible systems.
      One of the objects of this paper is to develop a special type of abstract
ideal theory which has Ritt's theorem as a consequence. The elements of our
ideals are polynomials in unknowns yi, • • • , yn and a certain number of their
derivatives. Following Ritt, we call these polynomials forms. The coefficients
in these forms are assumed to be elements of a differential field fJ of characteristic
zero.f A differential field is a commutative field (as in abstract algebra)
whose elements a, b, ....  have unique derivatives ai, bi, ..... which are elements
of the field. These derivatives must satisfy the rules (a+b)i = ai+bi
and (ab)i =aib+abi. The totality of these forms with coefficients in F
differential ring R. We consider differential ideals, which are ideals containing
together with any element its derivative. An example given by Ritt
shows that there exists a differential ideal of R having no finite subset, such
that every element of the ideal is a linear combination of elements of the
subset and their derivatives with forms of R as coefficients.**

        Certain results of Ritt suggested that we consider, as our purpose permits,
only differential ideals which have the property that if they contain an element a of R, they contain any element b of R such that a positive power of b is a.  We call these differential ideals perfect differential ideals.

    We show that every perfect differential ideal of R is the intersection of a finite number of prime perfect differential ideals.

         The use of perfect differential ideals was suggested by the foUowing two
results of Ritt:
        (a) Every infinite system of forms has a finite subsystem whose manifold of
solutions is identical with that of the infinite system*
       (b) Let F1, . . . ,Fr;  G be forms such that G has every solution of the system
F1, . . . , Fr. Then some power of G is a linear combination of the F i and a certain
number of their derivatives with forms for coefficients.
       We obtain abstract theorems that specialize to a combination of these
results of Ritt. For instance, we show that every perfect differential ideal of R
has a finite subset such that every form of the ideal has a power which is a linear
combination of the forms of the subset and their derivatives with forms of R for
coefficients. The proof of this basis theorem is like the proof of Ritt's result
(a) in fundamental respects, but there are essential differences. We also obtain
an abstract generalization of Ritt's result (b). The conciseness of the
proof of this theorem is an indication of the simplicity of our theory.
        Having established the basis theorem, the development of our ideal theory
follows approximately the well known methods of E. Noether.

                                      Perfect differential ideals
    1. We consider a fixed differential ring R of characteristic zero.
    The intersection of any arbitrary set of differential ideals is a differential
ideal. For let a be any element of the intersection. Then a is an element of
every ideal of the set; hence the derivative ax is in the intersection. The intersection,
which is known to be an ideal, is then a differential ideal. The intersection
of any arbitrary set of perfect differential ideals is a perfect differential
ideal. Let a and b be elements of R such that a is in the intersection
and some power of b is a. Then a is in every ideal of the set, hence also b.
Therefore the intersection is a perfect differential ideal.

         Let a be an arbitrary set of elements of R. We notice that R is a perfect
differential ideal. The intersection of the differential ideals containing a will
be called the differential ideal [a] determined by a. [a] is uniquely defined.

       The intersection of all perfect differential ideals containing a we call the
perfect differential ideal {a} determined by a. {a} is uniquely defined.



      Let a be any set of elements of R. We shall denote by a' the set consisting
of all elements of R which have a positive integral power in a. Using the set a
of the preceding paragraph, we define a recursively as follows:
                                                   a1 = {a},
                                               an = {a n - 1 }                                   (n = 2, 3, 4, . . . )
Let ß denote the totality of elements of the sets an. Then ß is a perfect differential
ideal and is contained in { a }, hence is {a}. This means that any element t of {a} is in some an with a sufficiently large subscript.

Homework nr.2 examples of rings

(by Robert_Tomaszewicz)

Definition 1.1. A ring R is a set with two binary operations, + and · , satisfying: ring

(1)   (R,+) is an abelian group,

(2)    R is closed under multiplication, and (ab)c = a(bc) for all a, b, c ∈ R,

(3)    a(b + c) = ab + ac and (a + b)c = ac + bc for all a, b, c ∈ R.

Example 1.2 (Examples of rings). 1. Z, Q, R, C.

2. 2Z – even numbers. Note that 1 ∈ 2Z.

3. Matn(R) = {n × n-matrices with real entries}
   In general AB < > BA.

   A ring R is called commutative if ab = ba for all a, b ∈ R.

4. Fix m, a positive integer. Consider the remainders modulo m: 0, 1, ...,m − 1.
 
Notation. Write n for the set of all integers which have the same remainder as n
n when divided by m. This is the same as {n + mk | k ∈ Z}. Also, n1 + n2 =
n1 + n2, and n1 · n2 = n1n2. The classes 0, 1, . . . ,m − 1 are called residues
modulo m.
The set  {0, 1, ...,m − 1}  is denoted by Zm or by Z/m or by Z/mZ.

5. The set of polynomials in x with coefficients in Q (or in R or C)

                                  {a0 + a1x + ... + anx2 | ai ∈ Q ,= Q[x]}
                with usual addition and multiplication. If an < > 0 then n is the degree of the
                polynomial.

Definition 1.3. A subring of a ring R is a subset which is a ring under the same subring
addition and multiplication.

Proposition 1.4. Let S be a non-empty subset of a ring R. Then S is a subring of
R if and only if, for any a, b ∈ S we have a + b ∈ S, ab ∈ S and −a ∈ S.

Proof. A subring has these properties. Conversely, if S is closed under addition and
taking the relevant inverse, then (S,+) is a subgroup of (R,+) (from group theory).
S is closed under multiplication.
Associativity and distributivity hold for S because they hold for R.

Homework nr.1 .....Co jest dla mnie ważniejsze: wektor czy skalar?

Wektor czy skalar co jest wazniejsze ?

W fizyce, matematyce a takze i w informatyce  mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:

               *wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami)
               * wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako strzalki).

Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła działa w jakimś kierunku, prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu itp.

W rzeczywistości, różnica między skalarami, a wektorami jest niekiedy dość subtelna. Łatwo jest określić, że coś jest wektorem wtedy, gdy ma więcej niż jeden wymiar. Jednak wielkość jednowymiarowa pod pewnym względami może być uznana zarówno za skalar jak i za wektor.
Większość typowych skalarów w fizyce to wielkości nieujemne: masa, czas, temperatura bezwzględna, ciśnienie, gęstość.
Dlatego bliższe pojęciu wektora jednowymiarowego są wielkości mogące przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne - np.: rzut prędkości na wybrany kierunek, różnica temperatur, temperatura w °C, ładunek.
Jednak w praktyce, prawie nikt nie traktuje się np. ładunku jako wektora (choć np. w zaawansowanej teorii cząstek elementarnych ładunek zaczyna nabierać cech "wektorowych" - ale to już problem zdecydowanie "większego kalibru").
W tym sensie, z trzech cech wektora znanych z dwóch i więcej wymiarów, w jednym wymiarze oprócz wartości i punktu przyłożenia (będących też cechą skalarów) zachowuje się jeszcze zwrot. Kierunek w jednym wymiarze jakby "znika", bo nie może się zmienić co powoduje, że nie jest żadną wyróżniającą cechą.

Na pytanie: "Co jest dla mnie ważniejsze: wektor czy skalar?" Odrazu mógby śmialo mówić, że dla mnie najważniejszy jest skalar, bo bez skalarów nie istniałby wektor.

Why is it called a 'ring', why is it called a 'field'?

The definitions of 'ring' and 'field' are pretty straightforward. For a ring (e.g. integers):

• addition is commutative (1+2=2+1)
• addition and multiplication are associative (2+(2+2))=((2+2)+2)
• multiplication distributes over addition (2∗(5+7)=2∗5+2∗7)
• each element has an additive inverse (2+−2=0)
• there exists an additive identity (2+0=2)

The word ring, though, has a concrete meaning in English. Its round. Usually when people name something, it is a metaphor of some kind. Where's the metaphor for 'ring'? What about 'field'?

As mentioned in the comments, the term 'ring' came from Hilbert (previous question). Bill's answer there is excellent.
Fields are a bit funnier. It started with Dedekind using the word "Zahlenkörper" (body of numbers). In a supplement that he wrote to Dirichlet's Vorlesungenueber Zahlentheorie, he used that word (looking for an image for that) instead of 'rationally known quantities.' It was Moore who coined 'field' - in 1893, he wrote on Galois fields for the Bulletin of the New York Mathematical Society. However, he was always careful to mention 'fields of order' something, as field had the additional meaning at the time of neighborhood (as we understand it today).
I believe he used 'body of numbers' because they stay together just as a group does. But the transition to 'field' is a harder one to understand. Perhaps he meant it as an extension of the neighborhood-field idea - these numbers stayed in a certain neighborhood of a set of numbers in the sense that they were only a couple of powers of s away (referring to his passage below). Or perhaps he meant in to be similar to a 'body', in the sense that they just stay together.
In any case, if there were a strong, direct metaphor for 'ring' or 'field,' it is no longer readily apparent. The origins of the terms are difficult to track and harder to understand completely, and different people used the same terms in different ways. It is even possible that little thought was given to the naming of these things - it is most often hard to judge the importance of something new. Reaching for the term 'ring' or 'field' because it fits and doesn't already mean something else might be the real origin.