homework nr.4

Exam. (Homo)-Morfizmy grup i pierscieni

Homomorfizmy struktur algebraicznych (homomorfizmy typow danych) wpro-

wadzi l Samuel Eilenberg w roku 1945. Eileberg ukonczyl studia w Uniwer-

sytecie Warszawskim w 1939 roku. W USA wolal aby jego studenci mowili z

nim po polsku. Teorie morfizm ́ow nazwal teori ̧a kategorii. Obecnie homomor-

fizm sie skraca do morfizmu. W teorii kategorii morfizm jest najwazniejszym,

pierwotnym, pojeciem.

                                       Figure 1: Morfizmu miedzy operacjami binarnymi.

 

(Homo)morfizm - jest to funkcja, która odwzorowuje jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drygą, zachowując przy tym odpowiadające sobie operacje.

Homomorfizm grup – w teorii grup funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr^.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupę należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Pierścień

Zespół (A,+,*) składający się z niepustego zbioru A oraz dwóch operacji binarnych + i * określonych w A nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

• (P1) (A,+) jest grupą abelową;
• (P2) (ab)c=a(bc);
• (P3)  a(b+c)=(ab)+(ac), (a+b)c=(ac)+(bc).

Endomorfizm – w teorii kategorii morfizm danej struktury matematycznej w siebie. Zbiór EndA wszystkich endomorfizmów struktury A wraz z działaniem składania przekształceń jest monoidem (tzn. półgrupą z jedynką). W strukturach algebraicznych endomorfizmy są homomorfizmami (danej struktury w siebie).Tutaj przedrostek endo- oznacza, moim zdaniem, wewnętrzny, część czegoś.

Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm f:X→Y mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów g1,g2:Y→Z spełniony jest warunek. Tutaj rozumiem przedrostek epi- jak prawy.

g1∘f=g2∘f⇒g1=g2.

.

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm f:X→Y mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów g1,g2:Z→X zachodzi

f∘g1=f∘g2⇒g1=g2.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f takie, że f i jego odwrotność f−1 są homomorfizmami.

 Homomorfizmem G w G' jest ϕ: G→G' takie, że ϕ(x·y)=ϕ(x)·ϕ(y).
Według Dedekinda f(x) = x(f) ϵ R oraz g(x) = x(g) ϵ R
tedy wg Dedekinda wychodzi: x(f+g)=x(f)+x(g) oraz x(f·g)=x(f)·x(g), z czego wynika, że "x" jest morfizmem.

E. Morfizm  PIERSCIEN WIELIEMIONOW (URL)
C. 
Logarytm:
Zatem oddziaływanie logarytmu na element neutralny i element odwrotny będzie wyglądało odwrotnie do oddziaływania exponecjału na element neutralny i element odwrotny.

log(r·s)=(logr)+(logs)
Element neutralny mnożenia jest równy 1. Dowolna dodatnia liczba rzeczywista a pomnożona przez 1 daje tą liczbę a, czyli a·1=a. Dalej następuje logarytmowanie (morfizm) i logarytm jedynki o dowolnej podstawie daje 0, a 0 jest elementem neutralnym dodawania.

Elementem odwrotnym dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a jest a^-1. Po logarytmowaniu mamy: loga^-1=-1loga=-loga, czyli mamy element odwrotny dodawania. Lub mamy jakieś wejście a, po logarytmowaniu mamy loga , teraz odwracamy i nam wychodzi -loga. Zatem mamy równość:

 loga^-1=-loga
Exponential jest odwrotny do logarytmu

Exponential:
exp(x+y)=(expx)·(expy)
Jeżeli do dowolnej liczby rzeczywistej r dodać 0, to otrzymamy tą liczbę rzeczywistą, czyli r+0=r. Dalej następuje exponencjonowanie (morfizm) i dowolna dodatnia liczba rzeczywista do potęgi 0 daje 1, a 1 to element neutralny mnożenia.

Elementem odwrotnym dodawania dla każdej liczby rzeczywistej r jest
-r. Po exponencjonowaniu mamy: a^-r , gdzie a to dowolna dodatnia liczba rzeczywista, czyli mamy element odwrotny mnożenia. Lub jeżeli mamy jakieś wejście r , to po exp nam wyjdzie a^r potem odwracamy i nam wychodzi:  (a^r) -1. Zatem mamy równość: a^-r=(a^r) -1

F. (Homo)morfizm