Egzamin nr. 9 Wieliomian minimalny

Wieliomian minimalny 

9.A.  0  -2

        -3  0

a(t)= t  -2  =  t^2-6

        -3  t

D11 = t;     D12 = -3

D21 = -2;   D22 = t

 

t   -3

-2  t           - największy wspólny dzielnik macierzy dołączonej = 1

v(t) = (t^2-6)/1 = t^2-6

9.B.  M ∈ EndV

        Wielomian R[t]=at^2+bt+c (a,b,c ∈ R)

        kerM=ideał w R[t]  - ten ideał główny i generator tego ideału nazywa się wielomianem minimalnym.

9.C.   3  -1

          -1  1

      a(t) =  t-3    -1    =  (t-3)(t-1)-1= t^2-4t+3;

                  -1    t-1

       D11 = t-1;    D12 = -1

       D21 = -1;     D22 = t-3

t-1    -1

-1     t-3    - największy wspólny dzielnik =1

v(t) = t^2-4t+3;

9.D.   2   3   -1

          1   1    1

          3   2    2

                   t-2     3      -1  

        a(t) =   1     t-1       1    = (t-2)^2(t-1) +3(t-1)= t^3 - 5*t^2 +11*t -7;

                    3      2      t-2

D11 = (t-1)(t-2)-2=t^2-3t    D12= (t-2)-3=t-5    D13 = 2-3(t-1)=5-3t

D21 =3(t-2)+2=3t-4            D22=(t-2)^2+3       D23 =2(t-2)-9=2t-13

D31 =3+1(t-1)=t+2             D32=(t-2)+1=t-1    D33 =(t-2)(t-1)-3=t^2-3t-1

t^2-3t        t-5          5-3t

 3t-4     (t-2)^2+3    2t-13       -największy wspólny dzielnik=1

 t+2           t-1         t^2-3t-1

 

v(t)= t^3-5*t^2+11*t-7;

Praca domowa nr 3: Udowodnić, że mZ jest ideałem Z.

Udowodnić, że mZ jest ideałem Z

       Na początku chce powiedzieć kilka słów o tym zbiorze Z: 

Z - to zbiór liczb całkowitych

Z = { 0, -1,  1, -2,  2, -3,  3 , -4, 4, ...} 

W prace domowej nr 2 pokazałam, że zbiór Z jest pierścieniem w którym:

• działanie (Z,+) - to grupa abelowa
• działanie (Z,· ) - to monoid

1. Udowodnimy, że mZ jest podpierścieniem Z

       Zacznę od tego, że udowodnię, że zbiór mZ jest pierścieniem.

mZ = { 0·m, -1·m,  1·m, -2·m,  2·m, -3·m,  3·m , -4·m, 4·m, ...}

mZ = { 0, -m,  m, -2m,  2m, -3m,  3m , -4m, 4m, ...}

Sprawdzamy czy (mZ,+) i (mZ,·) są półgrupami (semigroup).  

   Dla (+): (am+bm)+cm=am+(bm+cm)=m(a+b+c) dla każdego am,bm,cm ϵ mZ; a,b,c ϵ Z   

                 (am+bm)=m(a+b) ϵ mZ  dla każdego am,bm ϵ mZ; a,b, ϵ Z

   Dla (·): am·(bm·cm)=(am·bm)·cm=abcmᶾ dla każdego am,bm,cm ϵ mZ; a,b,c ϵ Z

               (am·bm) ϵ mZ dla każdego am,bm ϵ mZ; a,b, ϵ Z

Warunki łączności i wewnętrzności są spełnione dla obu operacji: i dla (+) i dla (·). Czyli jak (mZ,+), tak i (mZ,·) są półgrupami. 

Sprawdzamy czy półgrupy (mZ,+) i (mZ,·) są monoidami.

   Dla (+): e = 0

   Dla (·):  e nie istnieje (tylko dla m=1 e=1, ale wtedy mZ i Z będą jednakowe)

Element neutralny istnieje tylko dla (mZ,+), z czego wynika iż półgrupa (mZ,+) jest monoidem.

Sprawdzamy czy monoid (mZ,+) jest grupą.

   Dla (+): b = -am, gdyż dla każdego am ϵ mZ  zachodzi równość: am+b=b+am=e, a ϵ Z

Element odwrotny istnieje dla operacji (mZ,+), z czego wynika iż monoid (mZ,+) jest grupą.

 
Sprawdzamy czy grupa (mZ,+) jest grupą abelową.

   Dla (+): am+bm=bm+am  dla każdego am, bm ϵ mZ, gdzie a,b ϵ Z

Działanie jest przemienne (mZ,+), zatem (mZ,+) jest grupą abelową.

Sprawdzamy czy zbiór mZ jest pierścieniem:

Mamy dwa działania: (+) i (·); (mZ,+) jest grupą abelową; (mZ,·) jest łączne;

mnożenie obustronnie rozdzielne względem dodawania:

   am·(bm+cm)=(am·bm)+(am·cm)  dla każdego am,bm,cm ϵ mZ, gdzie a,b,c ϵ Z 

   (bm+cm)·am=(bm·am)+(cm·am)  dla każdegoam,bm,cm ϵ mZ, gdzie a,b,c ϵ Z 

Czyli zbiór mZ jest pierścieniem, w którym:

   Działanie (mZ,+) jest grupą abelową
   Działanie (mZ,·) jest semigroup

mZ jest podpierścieniem Z ponieważ dla dowolnych am, bm ϵ mZ zachodzi:

   am+bm=m(a+b) ϵ mZ

   am·bm=m(mab) ϵ mZ

oraz (mZ,+) jest podgrupą grupy (Z,+), gdyż zawiera element neutralny dodawania e = 0, oraz dla każdego am ϵ mZ istnieje element odwrotny -am ϵ mZ

2. Udowodnimy, że mZ jest ideałem Z

W tym punkcie będę korzystała z następującej definicji: Ideałem pierścienia R nazywa się każdy podzbiór I pierścienia R o tej własności, że:

• I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R;
• jeśli y ϵ R oraz a ϵ I, to ya ϵ I;
• jeśli y ϵ R oraz a ϵ I, to ay ϵ I.

Na wykładzie była nam podana podobna definicja, tylko w innej formie.


mZ jest ideałem Z, gdyż spełnia następujące warunki:

• (mZ,+) jest podgrupą grupy (Z,+)
• jeśli a ϵ Z oraz nm ϵ mZ to a·nm ϵ mZ
• jeśli a ϵ Z oraz nm ϵ mZ to nm·a ϵ mZ

Innymi słowy jeżeli weźmiemy dowolny element a ze zbioru Z i pomnożymy go przez dowolny elementem nm zbioru mZ, to otrzymamy jakiś element an·m, który będzie należał do zbioru mZ. Ponieważ mZ jest podpierścieniem Z, to biorąc pod uwagę poprzednie zdanie, możemy śmiało powiedzieć, że mZ jest ideałem Z.

Exam 6. Wektory

Grupa addytywna – pojęcie z dziedziny teorii grup, inaczej:

• grupa w zapisie addytywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku , branie elementu odwrotnego przez , element neutralny zaś oznaczony jest przez ; według konwencji grupy w zapisie addytywnym zwykle są przemienne.
• grupa dodawania w pewnej strukturze (pierścieniu, ciele itp.)  posiadająca działanie addytywne (najczęściej jest to również grupa abelowa), zwykle oznaczana przez .

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego, ang. regular). Odwrotnie, -moduł  jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia  w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej . 

Definicja  

Niech  oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste, czy zespolone), a  i  będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję  nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

• addytywna (zachowuje dodawanie wektorów),

  

• jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar),

   

   

Niech M1i M2 będą modułami nad pierścieniem R. Funkcję f: V1→V2 nazywamy homo-morfizmem(modułów), jeżeli spełnia wszystkie równości

f(ax+by) =af(x) +bf(y)

Dla x, y∈M1 oraz a, b∈R. Homomorfizmy modułów nazywamy też funkcjami lub przekształceniami liniowymi, zwłaszcza jeżeli ograniczamy się do przestrzeni liniowych. Homo-morfizmy (funkcje liniowe) są addytywne: f(x+y) =f(x)+f(y), oraz jednorodne:

f(ax) =af(x), a także spełnią równość f(0) =0. Funkcje liniowe przyjmujące wartości w  szczególnej przestrzeni liniowej jaką jest ciało R nazywamy funkcjonałami. 

Zauważmy też, że homomorfizmy modułów są w szczególności homo-morfizmami grup addytywnych modułów.

Dodawanie wektorów prędkości w teorii względności

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego.Rozumowanie Galileusza wespół z koncepcją absolutnego czasu, płynącego tak samo dla wszystkich obserwatorów, prowadzi do transformacji, która pozwala przeliczyć te same obserwacje dla różnych układów odniesienia. Transformacja Galileusza prowadzi do wniosku, że prędkości postrzegane przez różnych obserwatorów nie muszą być takie same, ale niezmienne pozostają odległości między punktami i odstępy czasu pomiędzy wydarzeniami.

Szczególna teoria względności

Transformacja ta wydaje się bardzo naturalna, lecz jest niezgodna z równaniami Maxwella, co przejawia się w zmianie wartości prędkości światła przy zmianie układu odniesienia. Na przykład jeśli światło według obserwatora O porusza się wzdłuż osi OX w kierunku dodatnim tej osi z prędkością c, to według obserwatora O' ma ono prędkość c - v. Ponieważ doświadczalne poszukiwania takiej zmiany zakończyły się fiaskiem (doświadczenie Michelsona-Morleya), należy przyjąć, że istnieje sprzeczność pomiędzy doświadczeniem z dziedziny elektromagnetyzmu a stosowaniem transformacji Galileusza.

Rozwiązaniem tego problemu była sformułowana przez Alberta Einsteina szczególna teoria względności, która postuluje zmianę praw transformacyjnych dla dużych prędkości układów odniesienia. W teorii tej wykorzystywane są transformacje Lorentza. Poza światem cząstek subatomowych czy prędkości porównywalnych do prędkości światła transformacja Galileusza jest wystarczającym przybliżeniem ogólniejszej teorii – szczególnej teorii względności. W codziennym życiu nie mamy możliwości zaobserwowania jej efektów ponieważ niemożliwe jest obserwowanie osiągnięcia prędkości bliskich prędkości światła dla obiektów makroskopowych (samochód, samolot, przedmioty codziennego użytku).

Tensor

 wielkość tensorowa, obiekt geometryczny – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora. Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione oraz można rozważać pola tensorowe, często nazywane w skrócie tensorami.

 Aby opisać jakąś geometryczną przestrzeń, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest rzeczą sztuczną, w rzeczywistości twór taki nigdzie nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy równaniem tensorowym lub tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Działania 

W każdej przestrzeni tensorowej istnieje wiele typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.

• Każdy skalar jest tensorem
• Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
• Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu

6B.

dimz2Z2=1

dimz2(Z2 + Z2)=dimz2Z2  + dimz2Z2=1 + 1=2

dimz2(Z2 x Z2)=dimz2Z2  x dimz2Z2=1 x 1=1

exam 5

Wykonalem tą pracę ale zebralem zbyt duzo informacji i informacja niezmieszczasie poprostu do blogu to wrzucam swoja prace w PDF formacie

homework nr.4

Exam. (Homo)-Morfizmy grup i pierscieni

Homomorfizmy struktur algebraicznych (homomorfizmy typow danych) wpro-

wadzi l Samuel Eilenberg w roku 1945. Eileberg ukonczyl studia w Uniwer-

sytecie Warszawskim w 1939 roku. W USA wolal aby jego studenci mowili z

nim po polsku. Teorie morfizm ́ow nazwal teori ̧a kategorii. Obecnie homomor-

fizm sie skraca do morfizmu. W teorii kategorii morfizm jest najwazniejszym,

pierwotnym, pojeciem.

                                       Figure 1: Morfizmu miedzy operacjami binarnymi.

 

(Homo)morfizm - jest to funkcja, która odwzorowuje jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drygą, zachowując przy tym odpowiadające sobie operacje.

Homomorfizm grup – w teorii grup funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr^.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupę należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Pierścień

Zespół (A,+,*) składający się z niepustego zbioru A oraz dwóch operacji binarnych + i * określonych w A nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

• (P1) (A,+) jest grupą abelową;
• (P2) (ab)c=a(bc);
• (P3)  a(b+c)=(ab)+(ac), (a+b)c=(ac)+(bc).

Endomorfizm – w teorii kategorii morfizm danej struktury matematycznej w siebie. Zbiór EndA wszystkich endomorfizmów struktury A wraz z działaniem składania przekształceń jest monoidem (tzn. półgrupą z jedynką). W strukturach algebraicznych endomorfizmy są homomorfizmami (danej struktury w siebie).Tutaj przedrostek endo- oznacza, moim zdaniem, wewnętrzny, część czegoś.

Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm f:X→Y mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów g1,g2:Y→Z spełniony jest warunek. Tutaj rozumiem przedrostek epi- jak prawy.

g1∘f=g2∘f⇒g1=g2.

.

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm f:X→Y mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów g1,g2:Z→X zachodzi

f∘g1=f∘g2⇒g1=g2.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f takie, że f i jego odwrotność f−1 są homomorfizmami.

 Homomorfizmem G w G' jest ϕ: G→G' takie, że ϕ(x·y)=ϕ(x)·ϕ(y).
Według Dedekinda f(x) = x(f) ϵ R oraz g(x) = x(g) ϵ R
tedy wg Dedekinda wychodzi: x(f+g)=x(f)+x(g) oraz x(f·g)=x(f)·x(g), z czego wynika, że "x" jest morfizmem.

E. Morfizm  PIERSCIEN WIELIEMIONOW (URL)
C. 
Logarytm:
Zatem oddziaływanie logarytmu na element neutralny i element odwrotny będzie wyglądało odwrotnie do oddziaływania exponecjału na element neutralny i element odwrotny.

log(r·s)=(logr)+(logs)
Element neutralny mnożenia jest równy 1. Dowolna dodatnia liczba rzeczywista a pomnożona przez 1 daje tą liczbę a, czyli a·1=a. Dalej następuje logarytmowanie (morfizm) i logarytm jedynki o dowolnej podstawie daje 0, a 0 jest elementem neutralnym dodawania.

Elementem odwrotnym dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a jest a^-1. Po logarytmowaniu mamy: loga^-1=-1loga=-loga, czyli mamy element odwrotny dodawania. Lub mamy jakieś wejście a, po logarytmowaniu mamy loga , teraz odwracamy i nam wychodzi -loga. Zatem mamy równość:

 loga^-1=-loga
Exponential jest odwrotny do logarytmu

Exponential:
exp(x+y)=(expx)·(expy)
Jeżeli do dowolnej liczby rzeczywistej r dodać 0, to otrzymamy tą liczbę rzeczywistą, czyli r+0=r. Dalej następuje exponencjonowanie (morfizm) i dowolna dodatnia liczba rzeczywista do potęgi 0 daje 1, a 1 to element neutralny mnożenia.

Elementem odwrotnym dodawania dla każdej liczby rzeczywistej r jest
-r. Po exponencjonowaniu mamy: a^-r , gdzie a to dowolna dodatnia liczba rzeczywista, czyli mamy element odwrotny mnożenia. Lub jeżeli mamy jakieś wejście r , to po exp nam wyjdzie a^r potem odwracamy i nam wychodzi:  (a^r) -1. Zatem mamy równość: a^-r=(a^r) -1

F. (Homo)morfizm